Zaťaženie napnutých lán (zaťaženie lanových mostov)

Základné veličiny

Na výpočet zaťaženia lán existuje 5 základných hodnôt:

• Dĺžka l lanového mosta. Dĺžka lanového mosta (ideálna čiara) v metroch
• Hmotnosť m ( pre hmotnosť), ktorá pôsobí na napnuté lano
• Odchýlka h – odchýlka od ideálnej línie lana pri zaťažení hmotnosťou m
• Pevnosť lana Rz. Táto veličina sa uvádza v N (newtonoch). Pri moderných lanách z umelých vlákien môže táto hodnota presiahnuť 35 kN, pri starších lanách je však výrazne nižšia; v zásade platí, že pre lanové mosty a podobné konštrukcie by mala byť minimálne 24 kN.
• Napínacia sila Fs, ktorou je lano napnuté. Táto hodnota sa zvyčajne pohybuje v rozmedzí 3 až 6 kN.

Pri výpočte sa vždy vychádza zo zaťaženia v strede lana, pretože v tomto bode je lano najviac namáhané.

Sila v newtonoch

Je dôležité poznať jednotky sily: N (newton), daN (dekanewton), kN (kilonewton). Platí:

1 kN = 100 daN = 1 000 N

Tieto údaje sa často zamieňajú s údajmi o hmotnosti. Platí:

Sila pôsobiaca v dôsledku hmotnosti Fg [N] = hmotnosť m [kg] * zemské zrýchlenie g [m/s²]

Kde g (zrýchlenie voľného pádu) je konštanta 9,81 m/s² (pre výpočet z hlavy: 10). To znamená, že ak zavesíte na lano hmotnosť 1 kg, na lano pôsobí sila 9,81 N (1 kg * 9,81 m/s² = 9,81 N).

Zanedbané faktory

Pri výpočte zaťaženia lana sa nezohľadňujú nasledujúce faktory:

• Vlastná hmotnosť lana

• Pohyb zaťaženia (hojdavý pohyb alebo pády)

Aby sme tieto faktory kompenzovali a mali ešte aj rezervu, vždy počítame s 1/3 pevnosti lana v ťahu. Je to veľmi dôležité najmä v prípade lán, ktoré slúžia ako posledná poistka (istiace lano).

Zásady

V zásade platia nasledujúce 3 zásady:

• Čím viac sa lano prehýba, tým menšie je zaťaženie
• Čím dlhšie (väčšia vzdialenosť) je lano napnuté, tým väčšie je zaťaženie
• Čím silnejšie je lano napnuté, tým väčšie je zaťaženie

Odvodenie / Postup výpočtu

Výpočet zaťaženia lana sa vykonáva pomocou trigonometrických a vektorových výpočtov. Ak človek nemá príslušné základné matematické alebo fyzikálne znalosti, je odvod ťažko pochopiteľný.

Táto časť slúži len na doplnenie informácií; samozrejme sa tým nemyslí, že vedúci mládežníckej skupiny by to mal vedieť vypočítať sám.

Najskôr je potrebné definovať uhol α (obrázok 1). Pre α platí: tan α = l/(2*h), z čoho vyplýva: α = tan^-1(l/(2*h))

Na stred lana pôsobia 3 sily: váha Fg a dvakrát ťah lana Fz (každá v inom smere, pozri obrázok 2). Keďže konštrukcia je symetrická, Fz má dvojnásobnú veľkosť. Platí, že vektorový súčet všetkých síl pôsobiacich na jeden bod je nulový; tieto tri vektory tvoria trojuholník (obrázok 3).

V tomto trojuholníku je možné pomerne jednoducho vypočítať Fz: s nakreslenou výškou trojuholníka, uhlom α (striedavý uhol k predtým vypočítanému uhlu) a polovicou sily váhy možno opäť zostaviť trigonometrickú rovnicu:  cos α = Fg/(Fz*2), z čoho vyplýva: Fz = Fg/(cos α *2).

Ak teraz dosadíme hodnotu α z predchádzajúcej rovnice, pripočítame k nej napínaciu silu lana a vynásobíme to všetko číslom 3, dostaneme konečnú potrebnú pevnosť lana v ťahu (ktorá je využitá len na 33 %):

Fo = (Fz + Fs) * 3

Fo = (Fg/(cos α * 2) + Fs)*3

Fo = (m * 9,81 / (cos(tan⁻¹(l / (2 * h))) * 2) + Fs) * 3

Túto rovnicu možno podľa potreby preformulovať, napr.:

m = (Fo/3 - Fs) * (cos(tan^-1(l/(2*h))) *2)/9,81

Poznámka: Vzorec v programe Excel je ešte o niečo mätúcejší, pretože Excel vykazuje výsledky trigonometrických funkcií v uhlových jednotkách, ktoré je najprv potrebné prepočítať späť.

Zoznam zdrojov

• Titulná fotografia, súbor Excel, obrázky, výpočty: Poskytol Jungschar Schinznach / Manuel Meier